Diketahui f(x) merupakan fungsi genap, jika ∫_(-4)^4 f(x) dx=16, ∫_3^4 f(2x-2) dx=11 dan ∫_(-5)^(-1) f(1-x) dx=6, maka ∫_0^2 f(x) dx=⋯

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »     ›  

Diketahui \(f(x)\) merupakan fungsi genap, jika \( \int_{-4}^4 f(x) \ dx = 16, \int_3^4 f(2x-2) \ dx = 11 \) dan \( \int_{-5}^{-1} f(1-x) \ dx = 6 \), maka \( \int_0^2 f(x) \ dx = \cdots \)

  1. 22
  2. 23
  3. 24
  4. 25
  5. 26

(UTBK 2019)

Pembahasan:

Ingat bahwa jika \( f(x) \) adalah fungsi genap maka \( \int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx \) sehingga:

\begin{aligned} \int_{-4}^4 f(x) \ dx &= 16 \\[8pt] 2 \int_0^4 f(x) \ dx &= 16 \\[8pt] \int_0^4 f(x) \ dx &= 8 \end{aligned}

Selanjutnya, kita bisa sederhanakan \( \int_3^4 f(2x-2) \ dx = 11 \), yakni misalkan \( u = 2x-2 \) sehingga diperoleh \( dx = \frac{1}{2} \ du \). Berikutnya, ganti batas dari integralnya, yaitu untuk \(x=3 \Rightarrow u = 4\) dan untuk \(x=4 \Rightarrow u = 6 \). Dengan demikian, dapat kita tuliskan:

\begin{aligned} \int_3^4 f(2x-2) \ dx &= 11 \\[8pt] \int_4^6 f(u) \ \frac{1}{2} \ du &= 11 \\[8pt] \int_4^6 f(u) \ du &= 22 \\[8pt] \int_4^6 f(x) \ dx &= 22 \end{aligned}

Dengan cara yang sama seperti di atas, sederhanakan \( \int_{-5}^{-1} f(1-x) \ dx = 6 \), yakni misalkan \(u = 1-x\) sehingga \( dx = -du \). Untuk \( x = -5 \Rightarrow u = 6 \) dan untuk \( x = -1 \Rightarrow u = 2 \) sehingga dapat kita tuliskan:

\begin{aligned} \int_{-5}^{-1} f(1-x) \ dx = 6 &\Leftrightarrow \int_6^2 f(u) \ -du = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow -\int_6^2 f(u) \ du = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow \int_2^6 f(u) \ du = 6 \\[8pt] &\Leftrightarrow \int_2^6 f(x) \ dx = 6 \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan sifat integral bahwa \( \int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx \) dan dari hasil yang diperoleh di atas, maka:

\begin{aligned} \int_2^6 f(x) \ dx &= \int_2^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx \\[8pt] 6 &= \int_2^4 f(x) \ dx + 22 \\[8pt] \int_2^4 f(x) \ dx &= -16 \\[8pt] \int_0^4 f(x) \ dx &= \int_0^2 f(x) \ dx + \int_2^4 f(x) \ dx \\[8pt] 8 &= \int_0^2 f(x) \ dx + (-16) \\[8pt] \int_0^2 f(x) \ dx &= 24 \end{aligned}

Jawaban C.